Séminaire GAG 2014 (janvier 2014 - juin 2014)
12 septembre : Rei Inoue (Tokyo)
- Titre : Introduction to cluster algebra
- Résumé : The cluster algebra was introduced by Fomin
and Zelevinsky around 2000. The characteristic operation in the algebra
called 'mutation' is related to various notions in mathematics and mathematical
physics. In this talk I review the basics of cluster algebra, and introduce
some applications to rational maps.
19 septembre : Takao Yamazaki (Tohoku)
(Attention: le séminaire aura exceptionnellement lieu en salle 0-3)
- Titre : Torsion points on Jacobian varieties via Anderson's \(p\)-adic
soliton theory
- Résumé : Anderson introduced a \(p\)-adic version of soliton
theory and applied it to an arithmetic problem related to Manin-Mumford conjecture.
He estimated the number of p-torsion points on the theta divisor of
certain curves. We evolve his theory further and estimate the number
of \(p^n\) torsion points on the theta divisor of more general curves.
(Joint work with S. Kobayashi. Reference: arXiv:1210.5838.)
26 septembre : Olivier Debarre (ENS Paris) dans le cadre
de l'École de Géométrie Algébrique
à Poitiers
- Titre : How to classify Fano varieties?
- Résumé : We review some of the methods used in the
classification of Fano varieties and the description of their birational
geometry. Mori theory brought important simplifications to this classical
theory which we will illustrate with various examples.
3 octobre : Ciro Ciliberto (Rome)
- Titre : The geometry of the Hermite interpolation problem
- Résumé : The classical multivariate Hermite interpolation
problem asks for the determination of the dimension of the vector space of polynomials
of a given degree $d$ in a given number r of variables having n assigned, sufficiently
general, zeroes with given multiplicities. This is trivial for \(n=1\), but quite
complicated as soon as \(n\geqslant 2\). Very little is known for \(n\geqslant 2\). For \(n=2\)
there is a leading conjecture going back to B. Segre in 1960 (the so called
Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz conjecture). In the same year Nagata, working
on Hilbert's XIV problem (for which he provided a counterexample) formulated
a related conjecture, which turns out to be implied by SHGH, and, in a sense
which can be made precise, ''asymptotically equivalent'' to it. In this talk
I will recall these conjectures, and I will try to explain their inspiring
connections with delicate properties of sophisticated objects like the Mori cone
of the blow-up of a plane at ten or more general points.
10 octobre : Nadir Matringe (Poitiers)
- Titre : Restriction de la fonction \(L\) de Bump et Friedberg
- Résumé : Bump et Friedberg ont introduit en 1990 une
représentation
intégrale de la fonction \(L(s,s',\pi)\) de deux variables complexes, correspondant
au produit de la fonction \(L\) d'une représentation automorphe cuspidale \(\pi\) de
\(GL(2n,A)\), et de celle du carré extérieur de cette dernière, pour \(A\)
l'anneau des adèles d'un corps de nombre. Inspirés par les propriétés de
cette représentation intégrale, mais sans l'utiliser directement, Jacquet et Friedberg
ont par la suite montré qu'une représentation automorphe cuspidale \(\pi\) de \(GL(2n,A)\),
admettait une "période" sous le groupe de Levi de \(GL(n,A) \times GL(n,A)\) si et seulement
si la fonction L du carré extérieur de \(\pi\) admettait un pôle en 1, et que sa
fonction \(L\) ne s'annulait pas en 1/2. Nous proposons une démonstration directe de ce
résultat, en considérant la restriction fonction \(L(s,s',\pi)\) à la droite
complexe s'=2s, obtenue en affinant les résultats locaux de Bump et Friedberg.
17 octobre : Paola Comparin (Poitiers)
- Titre : Fibrations elliptiques sur des surfaces K3
- Résumé : Si on prend une surface lisse projective,
une fibration elliptique est
un morphisme surjectif de X dans \(\mathbb{P}^1\) tel que la fibre générique soit
une courbe elliptique. Il peut y avoir des fibres singulières et grâce aux
travaux de Kodaira on connaît leur type et leur nombre. On prendra dans l'exposé
des surfaces K3 qui sont obtenues à partir d'un recouvrement double de \(\mathbb{P}^2\) ramifié
le long d'une sextique et on montrera des techniques pour établir toutes les fibrations
elliptiques sur ces surfaces. Cette méthode permet aussi de trouver des équations
explicites des fibrations. Il s'agit d'un travail commun avec A. Garbagnati.
24 octobre : Jean-Yves Charbonnel (Paris 7)
- Titre : Invariants symétriques des centralisateurs et
W-algèbre finie
- Résumé :
Il y a quelques années D. Panyushev, A. Premet et O. Yakimova
ont montré que l'algèbre des invariants symétriques des
centralisateurs d'une algèbre de Lie simple de type A ou C sont
polynomiales. Ils ont montré que ces résultats subsistaient dans
des cas particuliers pour les types B et D. Après avoir rappelé
leurs résultats, je montrerai que par une autre méthode on peut
espérer généraliser leur résulats. En outre,
je donnerai plusieurs exemples pour les types B et D. Pour certains, la
polynomialité de l'algèbre des invariants est
vérifiée alors que pour d'autres, elle ne l'est pas. Ceci est un
travail en cours et en commun avec Anne Moreau.
-
31 octobre : Rupert Yu (Reims) (Pas de pause pour le séminaire
donc !)
- Titre : Sur les compositions associées aux
sous-algbèbres (bi)paraboliques de Frobenius dans sl(n)
- Résumé : En utilisant un monoïd libre
d'opérateurs sur l'ensemble des compositions (resp. paires de compositions) de n, nous
établissons une correspondance entre les sous-algèbres paraboliques (resp.
biparaboliques) standards de Frobenius dans sl(n) et certains éléments
de ce monoïd. Nous montrons via cette correspondance une conjecture de
Duflo sur le nombre de sous-algèbres paraboliques (resp. biparaboliques)
standards de Frobenius dans sl(n) associées aux compositions (resp.
paires de compositions) ayant n-t parts (resp. parts en total).
Ceci est un travail en commun avec Michel Duflo.
7 novembre : Charlène Coniglio (Poitiers)
- Titre : Correspondance de Jacquet-Langlands et distinction :
cas des cuspidales de niveau 0.
- Résumé : Considérons
\({\Bbb K}/{\Bbb F}\) une extension quadratique modérément
ramifiée
de corps locaux non archimédiens. Soit \({\rm GL}_m(\mathcal{D})\)
une forme intérieure
de \({\rm GL}_n({\Bbb F})\) et \({\rm GL}_\mu(\Delta)=({\rm M}_m(\mathcal{D})
\otimes_{\Bbb F} {\Bbb K})^\times\) une forme
intérieure de \({\rm GL}_n({\Bbb K})\). Lors de cet exposé,
nous verrons que la
correspondance de Jacquet-Langlands préserve la distinction au sens suivant :
une représentation cuspidale de niveau 0 de \({\rm GL}_n({\Bbb K})\) est
\({\rm GL}_n({\Bbb F})\)-distinguée si et seulement si son image par la
correspondance de Jacquet-Langlands est \({\rm GL}_m(\mathcal{D})\)-distinguée.
Nous donnerons
également des critères de \({\rm GL}_m(\mathcal{D})\)-distinction pour les
représentations cuspidales de niveau 0 de \({\rm GL}_\mu(\Delta)\),
caractérisation que nous lisons sur la
paramétrisation donnée par les travaux de Silberger et Zink.
14 novembre : Frédéric Mangolte (Angers)
- Titre : Approximation des courbes sur les surfaces rationnelles
réelles
- Résumé :
Il est bien connu que toute application différentiable \({\Bbb S}^1\to X\)
du cercle vers une variété rationnelle réelle
admet une approximation par des application algébriques
\({\Bbb P}^1({\Bbb R}) \to X\). En particulier, toute courbe fermée
simple sur une surface rationnelle \(S\) admet une approximation par des
courbes rationnelles de \(S\). Remarquons que ce
résultat classique concerne les courbes rationnelles
paramétrées, l'adhérence de Zariski de l'image
possède donc éventuellement des points isolés
supplémentaires. Comme conséquence de notre théorème
sur la densité des automorphismes algébriques réels
dans les difféomorphismes, nous montrons comment se
débarrasser de ces points isolés.
Théorème principal :
Soit \(S\) une surface rationnelle lisse et \(L\) une courbe fermée
connexe simple sur \(S\). Alors \(L\) admet une approximation par des
courbes rationnelles lisses si et seulement si la paire \((S,L)\) n'est pas
difféomorphe à la paire (tore, cercle homotope au point).
De plus, nous caractérisons par des conditions purement topologiques
la possibilité pour \(L\) d'admettre une approximation par des
(-1)-courbes. Les (-1)-courbes étant des objets plutôt rigides,
l'approximation par des (-1)-courbes est une question assez subtile.
(Travail en collaboration avec János Kollár).
21 novembre : Ioan Badulescu (Montpellier)
- Titre : Changement de base pour les représentations unitaires
- Résumé : Ceci est un travail
en commun avec Guy Henniart. On montre que le changement de base pour les
représentations tempérées de \(GL(n,{\Bbb F})\)
(\({\Bbb F}\) corps \(p\)-adique) démontré par Arthur et
Clozel s'étend à toutes les représentations unitaires
ou elliptiques. Une conséquence est que le changement de base global
démontré par Arthur et Clozel pour les représentations cuspidales
globales s'étend à toutes les séries discrètes globales.
28 novembre (colloquium, 14h30) :
Marie-Françoise Roy (Rennes)
- Titre : Bornes élémentairement récursives pour le 17ième
problème de Hilbert
- Résumé :
5 décembre : Pas de séminaire !!! (soutenances
de thèses les 5 et 6 décembre)
12 décembre : James Cogdell (Colombus, Ohio)
- Titre : \(L\)-functions
- Résumé :
\(L\)-functions have become ubiquitous in modern number theory.
The Riemann zeta function is the oldest member of this family.
They are wonderful and mysterious arithmetic interpolation devices.
They take local (or mod \(p\)) information and give back global invariants.
Examples of things they give are the prime number theorem, the
existence of primes in arithmetic progressions, the ''analytic class
number formula'', the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, ...
I wwill try to explain these briefly.
On the other hand, if one tried to invent such interpolation devices
by hand, there are a natural family of spaces that are built up of
products of local (or mod p) spaces but have a natural global mixing
built in. These are the adelic spaces. Now you can try to understand
these spaces through their functions spaces, the spaces of automorphic
forms. Again, somewhat mysteriously, pieces of these function spaces also
have \(L\)-functions attached to them, but they are better understood.
I will try to explain this briefly as well.
Despite their different origins, one arithmetic and one analytic,
we know from experience that these families of \(L\)-functions must
be related. Making this relation precise is the goal of the Langlands
Program. Whenever we can establish this correspondence, wondrous things
follow. In the simplest case of ''degree one'' this is Class
Field Theory, one of the glories of early twentieth century number
theory. Even for just a class of examples in ``degree two'' such a
correspondence played a fundamental role in Wile's proof of Fermat's
Last Theorem. I hope to be able to give a sense of how we expect
this correspondence to look.
19 décembre : Ivan Marin (Amiens)
- Titre : Image du groupe de tresses dans l'algèbre
de Hecke
- Résumé :
Il est classique que l'algèbre d'Iwahori-Hecke \(H_n(q)\) de type \(A\)
associée au groupe réductif fini \(GL_n({\Bbb F}_q)\) sur un corps donné
\(K\) permet de construire des représentations du groupe des tresses à \(n\) brins,
\(B_n\). Une question naturelle est de déterminer l'image de \(B_n\)
dans le groupe des inversibles de \(H_n(q)\). Pour \(K\) de caractéristique 0
et pour \(q\) suffisamment général, l'enveloppe algébrique de cette
image est connue (M., 2004). Dans un travail récent avec O. Brunat
et K. Magaard, nous déterminons le groupe fini qui est l'image du
groupe de tresses quand \(K\) est un corps fini, et quand l'ordre de q dans \(K^*\) est
\(> n\).