Séminaire "Groupes, Algèbre et Géométrie"
(organisateurs : Paul Broussous et Anne Moreau)
Année 2012-2013
Le
jeudi de 14h00 à 15h00
en salle 0-6
27 septembre : Marcello Bernardara (Toulouse)
Titre : Catégories dérivées et rationalités
Résumé : Depuis plus d'un siècle, une question fondamentale en géométrie algébrique est de déterminer sous quelles conditions une variété projective X est rationnelle, c'est à dire birationnellement équivalente à l'espace projectif. Depuis les premiers travaux de Bondal et Orlov des années 90, les catégories dérivées et leurs décompositions sont apparues comme un outil de plus en plus intéressant dans ce domaine de recherche, grâce aussi à une longue série de travaux de Kuzntesov et autres. Dans cet exposé, cette approche sera motivée par des exemples, par la notion de représentabilité d'une catégorie triangulée et par des conjectures et des questions ouvertes.
4 octobre : colloquium (14h30) :
Stéphane Jaffard (Créteil)
Titre : L'analyse multifractale : de nouveaux outils de classification pour les signaux et les images
Résumé : L'analyse multifractale à été introduite par des physiciens pour étudier la structure de la turbulence pleinement développée, en utilisant des indices de régularité d'espaces fonctionnels. Une motivation supplémentaire est d'expliquer les résultats observés par la présence de singularités ponctuelles dans les données de différentes "intensités". Les arguments heuristiques reliant régularité globale et ponctuelle se sont révélés très fructueux au sein des mathématiques, fournissant des concepts unificateurs qui ont permis de revisiter de grandes classes de fonctions issues de l'analyse harmonique, de la théorie des nombres, ou des processus stochastiques. Nous donnerons une idée des outils d'analyse fonctionnelle et d'analyse harmonique intervenant dans ce programme, et nous présenterons quelques illustrations pour la classification de signaux et d'images, en nous concentrant particulièrement sur les récentes applications en "stylométrie", en particulier autour du "Van Gogh Challenge" où différentes méthodes de classification d'images ont été mises en oeuvre pour comparer des oeuvres attribuées à Van Gogh.
11 octobre : Jean Philippe Furter (La Rochelle)
Titre : La variété des automorphismes polynomiaux de l'espace affine
Résumé : Je commencerai par donner la définition d'une variété algébrique de dimension infinie, telle qu'elle fut introduite par Shafarevich en 1966. J'appliquerai ensuite cette notion au groupe des automorphismes polynomiaux de l'espace affine de dimension n. Cela me permettra d'énoncer quelques résultats et problèmes. À la fin, si j'ai le temps, je m'intéresserai au problème suivant : le n-ème groupe de Cremona (groupe des transformations birationnelles de l'espace affine de dimension n) est-il naturellement muni d'une structure de variété algébrique de dimension infinie ?
18 octobre : Vera Serganova (Berkeley)
Titre : Associated variety for superalgebras with application to
representation
theory
Résumé : The category of finite-dimensional representations of a semi-simple Lie superalgebra algebra over a field of characteristic zero is not semi-simple. In many ways the situation is similar to the classical case in positive characteristic. Some time ago M. Duflo and I constructed a functor from this category to the category of equivariant quasicoherent sheaves on the cone of self-commuting odd elements of the corresponding Lie superalgebra. We call the support of the sheaf corresponding to a given representation the associated variety of the representation. This notion is analogous to the notion of rank variety in positive characteristic and associated variety for Harish-Chandra modules. The geometric fiber of the corresponding sheaf at a generic point of the associated variety defines a functor from a block of the original category to a semi-simple block in the category of representations of a supergroup of the same type of smaller rank. I discuss applications of this fiber functor in representation theory: proof of Kac-Wakimoto conjecture and connection with modified dimension defined by N. Geer, J. Kujawa and B. Patureau-Mirand.
25 octobre : Luen-Chau Li (Penn State, Pennsylvania State University)
Titre : Liouville integrability of a class of integrable spin Calogero-
Moser systems and exponents of simple Lie algebras
Résumé : In previous work, we introduced a class of integrable spin Calogero-Moser systems associated with the classical dynamical r-matrices with spectral parameter, as classified by Etingof and Varchenko for simple Lie algebras. In this talk, we will show how to establish the Liouville integrability of such systems by a uniform method. En route, we will present several results on the algebra of invariant polynomials on simple Lie algebras which are useful in our analysis.
8 novembre : pas de sémimaire (soutenance d'Habilitation de Clément Dombry à 15h)!
15 novembre : Xavier Roulleau (Poitiers)
Titre : Arithmétique des surfaces de Fano
Résumé : Une surface de Fano paramètre les droites contenues dans une hypersurface cubique lisse de dimension 3. C'est une surface lisse de type général dont nous montrons qu'elle satisfait à la conjecture de Tate (conjecture qui porte sur les cycles contenus dans une variété algébrique). Dans le cas où le corps de base est un corps fini, nous discutons ensuite d'un algorithme qui permet de déterminer sa fonction zeta et d'obtenir des invariants intéressants de cette surface.
22 novembre : Lewis Topley (Manchester)
Titre : Sheets and Centralisers in Classical Lie Algebras
Résumé : The sheets of a semisimple Lie algebra g are the irreducible components of the subvariety of g consisting of elements with a centraliser of a given dimension. They are stable under the action of the adjoint algebraic group and provide an alternative perspective from which we may study the orbit structure in g. In this seminar I shall introduce the theory of sheets and present new results identifying the dual space to the tangent to a sheet, confirming a recent conjecture of Izosimov (http://arxiv.org/abs/1202.1135 , Conjecture 1). This research was motivated by some questions regarding 1-dimensional representations of finite W-algebras, where this theory has recently made an appearance. It shall eventually contribute to the solution of the old problem of classifying the primitive ideals of U(g) for which the associated variety is a given nilpotent orbit. If there is time I shall explain the connection and the consequences of these results.
29 novembre : colloquium (14h30) : David Hernandez (Paris 7)
Titre : Groupes quantiques affines et catégorifications
Résumé : La réalisation de structures combinatoires ou algébriques (anneaux de coordonnées de groupes de Lie, algèbres cluster, systèmes intégrables discrets...) en terme d'anneaux de Grothendieck de catégories tensorielles permet d'obtenir de précieuses informations, sur ces structures d'une part et sur la catégorie utilisée d'autre part. Dans cet exposé, nous illustrerons ce procédé par des exemples obtenus récemment à partir de la théorie des représentations des groupes quantiques affines. L'exposé est destiné à un large public.
6 décembre : Olivier Benoist (ENS Paris)
Titre : Le critère de quasi-projectivité de Chevalley-Kleiman pour des variétés normales
Résumé : On montre qu'une variété normale contient un nombre fini d'ouverts quasi-projectifs maximaux. Comme corollaire, on obtient la généralisation suivante du critère de projectivité de Chevalley-Kleiman : une variété normale est quasi-projective si et seulement si tout sous-ensemble fini est contenu dans un ouvert affine.
13 décembre : François Charles (Rennes)
Titre : La conjecture de Tate pour les variétés symplectiques holomorphes
Résumé : On prouve la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les réductions de variétés symplectiques holomorphes sur un corps fini, moyennant quelques hypothèses sur la caractéristique. Le cas important est ici le cas supersingulier. En particulier, on obtient la conjecture de Tate - qui se réduit ici à la conjecture d'Artin - pour les surfaces K3 en toute caractéristique p>3. La preuve s'appuie sur un travail de D. Maulik qui traite le cas des surfaces en caractéristique grande devant le degré.
20 décembre (Attention: changement d'horaire !) : Erwan Rousseau (Marseille),
à 16h
Titre : Hyperbolicité, équations différentielles et formes automorphes
Résumé : J'expliquerai comment l'étude des courbes entières dans les variétés projectives complexes est liée à celle des équations différentielles et des formes automorphes.
10 janvier : Guilnard Sadaka (Poitiers)
Titre : Sous-algèbres admissibles et W-algèbres finies
Résumé : À un élément nilpotent e d'une algèbre de Lie simple complexe g et une certaine sous-algèbre nilpotente m de g, on associe une W-algèbre finie H(m,e). La construction s'étend à toute sous-algèbre nilpotente m dite "admissible" comme nous le montrerons dans cet exposé. L'algèbre correspondante H(m,e) possède des propriétés remarquables ; par exemple, l'équivalence de Skryabin reste valable ce qui constitue une motivation majeure. En type A, nous décrivons explicitement certaines sous-algèbres admissibles pour l'élément nilpotent associé à une partition du type [n,...,n]. Ceci nous permet en particulier de répondre (négativement) à une conjecture d'Alexander Premet.
17 janvier : colloquium (14h30) : Marc-Hubert Nicole (Luminy)
Titre : Stratifications de variétés de Shimura
Résumé : Les variétés de Shimura sont des généralisations des courbes modulaires qui sont au coeur des programmes de R. Langlands et S. Kudla. Notre exposé portera sur l'infrastructure géométrique construite à partir des groupes de Barsotti-Tate. Nous présenterons quelques applications arithmétiques relatives aux programmes ci-haut ou leurs variantes p-adiques.
24 janvier : François Courtès (Poitiers)
Titre : Distinction de la représentation de Steinberg d'un groupe réductif p-adique
Résumé : Soit F un corps p-adique et E une extension quadratique galoisienne de F; une représentation lisse R du groupe G(E), o&ugrve; G est un groupe réductif défini sur F, est dite X-distinguée, où X est un caractère lisse de G(F), s'il existe un G(F)-opérateur d'entrelacement non trivial de R dans X. D'après une conjecture de Dipendra Prasad, lorsque G est quasi-déployé sur F, la représentation de Steinberg de G(E) est X-distinguée pour un et un seul caractère X de G(F), et de plus ce dernier est alors de multiplicité 1; on montrera cette conjecture, sous certaines conditions, lorsque G est déployé sur F. Il s'agit d'un travail en commun avec Paul Broussous.
31 janvier : Mouchira Zaiter (Paris 7)
Titre : Sur quelques sous-variétés d'une puissance cartésienne d'une algèbre de Lie semi-simple liées à une sous-algèbre parabolique
Résumé : On va décrire quelques désingularisations de quelques sous-variétés d'une puissance cartésienne d'une algèbre de Lie semi-simple de dimension finie. Ce travail est le premier pas de la généralisation d'un travail précédent avec Jean-Yves Charbonnel. Dans ce travail, la sous-algèbre parabolique est une sous-algèbre de Borel. Lorsque la sous algèbre parabolique n'est pas résoluble on rencontre une obstruction qui ne permet pas d'étendre les résultats.
7 février, Colloquium (14h) : Frédéric Symesak (Poitiers)
Titre : Mathematica...
Résumé :
14 février : Paul Broussous (Poitiers) : ANNULÉ !
Titre : Pseudo-coefficients explicites pour la série discrète de GL(N) d'un corps local
Résumé : La connaissance de pseudo-coefficients explicites à des applications en analyse harmonique sur les groupes réductifs locaux ou d'adèles. Dans cet exposé nous décrirons deux façons indépendantes d'en construire. La première, basée sur une idée de Guy Henniart, consiste à les obtenir par transfert via des isomorphismes d'algèbres de Hecke. La seconde (travail en commun avec Peter Schneider) consiste à interpréter la construction de Bushnell et Kutzko en de l'homologie de systèmes de coefficients sur l'immeuble de Bruhat-Tits. Comme application, nous obtenons une formule explicite de nature géométrique donnant le caractère d'Harish-Chandra d'une représentation de la série discrète en un élément elliptique régulier.
21 février : Sophie Morier-Genoud (Paris)
Titre : Groupe, algèbre et géométrie des frises de Coxeter et de leurs généralisations
Résumé : La notion de frise a été introduite et développée par Coxeter au début des années 70. Avec Conway, ils ont approfondi l'étude des frises numériques et établi plusieurs liens surprenants avec des objets classiques des mathématiques (comme la suite de Fibonacci, les triangulations de polygones,...). Les frises connaissent actuellement une renaissance dues à leurs connexions avec la théorie des algèbres amassées de Fomin-Zelevinsky. Dans cet exposé, nous donnerons la définition des frises de Coxeter-Conway, et de certaines variantes, et donnerons leurs principales propriétés algébriques et géométriques. En particulier, nous expliquerons comment ces objets paramétrent des espaces de modules de polygones et présenterons aussi des résultats de classification de frises entières.
7 mars : Michela Artebani (Concepcion, Chili)
Titre : On Büchi's K3 surface
Résumé : Büchi's problem is a classical problem in number theory: given the following system of diophantine equations \( (x_{i+2}^2-x_{i+1}^2)-(x_{i+1}^2-x_{i}^2)=2\), for \(i = 1,...,n-2\), it asks whether there exists a positive integer n such that any integer solution \((x_i,...,x_n)\) of the system is "trivial", i.e. \(x_i^2 = (x + i)^2\), where x is an integer. In this talk we will show that the set of non-trivial rational solutions for n=5 is infinite. This is achieved by looking at the geometry of the K3 surface in P5 which is defined by the homogenized system of equations. This is joint work with Antonio Laface and Damiano Testa.
14 mars : Nadir Matringe (Poitiers)
Titre : Représentations de GL(n,F) distinguées par un Levi maximal, pour F un corps p-adique
Résumé : Soit F un corps p-adique. On donnera une classification des représentations complexes "génériques" de GL(n,F) qui admettent sur leur espace une forme linéaire invariante par un Levi maximal. Si le temps le permet, on donnera l'intérêt d'un tel résultat pour l'étude des facteurs locaux d'une certaine fonction L, ainsi que leur signification en termes de la correspondance de Langlands pour GL(n,F).
21 mars : Ronan Terpereau (Grenoble)
Titre : Schémas de Hilbert invariants et résolutions des singularités quotients
Résumé : On considère G un groupe classique (SL(V), GL(V), O(V),...) et X la somme directe de p copies de la représentation standard de G et de q copies de sa représentation duale, où p et q sont des entiers positifs. On s'intéresse alors au schéma de Hilbert invariant, noté H, qui paramètre les sous-schémas fermés G-stables Z de X tels que k[Z] soit isomorphe à la représentation régulière de G. Dans cet exposé, nous verrons que H est une variété lisse lorsque la dimension de V est petite, mais que H est singulier en général. Lorsque H est lisse, le morphisme de Hilbert-Chow, H → X//G, est une résolution canonique des singularités du quotient catégorique \(X//G (=Spec(k[X]^G))\). Il est alors naturel de se demander quelles sont les bonnes propriétés géométriques de cette résolution (par exemple, est-elle crépante?). Si le temps le permet, on évoquera certains résultats analogues dans le cadre symplectique, c'est-à-dire en prenant p=q et en remplaçant X par la fibre en 0 de l'application moment. Les quotients obtenus sont alors isomorphes à des adhérences d'orbites nilpotentes et le morphisme de Hilbert-Chow permet d'en construire des résolutions (parfois symplectiques).
28 mars (14h) : Paul Broussous (Poitiers)
Titre : Pseudo-coefficients explicites pour la série discrète de GL(N) d'un corps local
Résumé : La connaissance de pseudo-coefficients explicites a des applications en analyse harmonique sur les groupes réductifs locaux ou d'adèles. Dans cet exposé nous décrirons deux façons indépendantes d'en construire. La première, basée sur une idée de Guy Henniart, consiste à les obtenir par transfert via des isomorphismes d'algèbres de Hecke. La seconde (travail en commun avec Peter Schneider) consiste à interpréter la construction de Bushnell et Kutzko en de l'homologie de systèmes de coefficients sur l'immeuble de Bruhat-Tits. Comme application, nous obtenons une formule explicite de nature géométrique donnant le caractère d'Harish-Chandra d'une représentation de la série discrète en un élément elliptique régulier.
28 mars :
colloquium (15h30) :
Guy Barles (Tours)
Titre : L'aventure de la modélisation en Biologie
Résumé : Le rôle des Mathématiques ne cesse de croître dans toutes les sciences. La modélisation a le double avantage d'être une démarche scientifique peu coûteuse, et d'aborder l'étude de certains phénomènes complexes avec, souvent, un point de vue différent des experts de la discipline dont relève principalement le phénomène en question. De toute façon, la complexité de ces phénomênes, liée à une volonté de compréhension plus fine, aboutit au constat d'une nécessaire pluridisciplinarité dans les recherches de pointe. La démarche de modélisation-simulation a depuis longtemps connu beaucoup de succès dans les disciplines traditionnelles comme la physique et la chimie. Plus récemment l'économie, mais aussi le traitement d'images et maintenant la biologie et la médecine se lancent dans cette aventure. Si certaines situations se prêtent à une modélisation "simple" utilisant des lois fondamentales bien connues de la physique, d'autres cas semblent moins faciles à aborder...
4 et 5 avril : conférence à Poitiers
"Géométrie des orbites nilpotentes et W-algèbres finies"
(pas de séminaire)
11 avril (14h) : Victor Batyrev (Tübingen).
ATTENTION : salle 0-3 !!!
Titre : On the Mavlyutov's mirror construction
Résumé : Recently Mavlyutov has discovered a new combinatorial duality for rational polytopes which generalizes the polar duality for reflexive polytopes. He has introduced the notion of Q-reflexive polytopes and shown that this notion coincides with the notion of usual refelexive polytopes if the dimension is less or equal to 4. Our aim is to explain the Mavlyutov's mirror construction and related open questions. This is a joint work with Makoto Miura.
11 avril :
colloquium (15h30) :
Jacques Bodin (Poitiers)
Titre : Quelques problèmes de mathématiques appliquées en hydrogéologie
Résumé : Les eaux souterraines constituent la principale source d'eau douce pour la planète, fournissant plus de 50% des besoins mondiaux en eau potable, 40% de la demande industrielle et 20% des usages agricoles. L'hydrogéologie est la science qui a pour objet l'étude qualitative et quantitative de cette ressource. Les enjeux sont de pouvoir caractériser le plus précisément possible les propriétés des réservoirs hydrogéologiques par des expériences de terrain appropriées afin de pouvoir ensuite simuler les transferts d'eau et d'éléments chimiques dissous (naturels ou résultat d'une pollution) par des modèles conceptuels et numériques. Les principales équations utilisées sont des équations aux dérivées partielles : équation de diffusivité (EDP du 2nd ordre de type parabolique), équation d'advection-diffusion (type Fokker-Planck). Au-delà de certains cas "simples" pour lesquels des solutions analytiques existent, ces EDPs doivent être résolues numériquement (méthodes eulériennes, lagrangiennes) pour résoudre des problèmes d'écoulement et de transport à l'échelle du milieu naturel. L'objectif de cette rencontre est de présenter les travaux menés par les hydrogéologues de l'Université de Poitiers (Laboratoire IC2MP, équipe HYDRASA), qui utilisent et développent des modèles numériques destinés à simuler les transferts d'eau et de solutés dans les réservoirs hydrogéologiques fortement hétérogènes (e.g. roches fracturées). Les enjeux sont à la fois conceptuels (comment représenter "au mieux" l'hétérogénéité du milieu ?), numériques (comment réduire les temps de calculs tout en préservant la précision ?), et probabilistes (comment quantifier l'incertitude sur les prédictions ?).
18 avril : pause
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Résumé :
25 avril : pause
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2 mai : Kaïs Amari (Poitiers)
Titre : Stabilité des sous-algèbres paraboliques de so(n).
Résumé : Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Une algèbre de Lie de dimension finie définie sur K est dite stable si elle possède une forme linéaire régulière admettant un voisinage pour la topologie de Zariski dans lequel les stabilisateurs de deux éléments sont conjugués par le groupe adjoint connexe. Il est bien connu qu'une algèbre de Lie quasi-réductive est stable. Cependant, il existe des algèbres de Lie stables qui ne sont pas quasi-réductives. Se pose la question de savoir si, pour certaines classes particulières d'algèbres de Lie non réductives, il y a équivalence entre ces deux notions. Panyushev a conjecturé que ces deux notions sont équivalentes pour les sous-algèbres biparaboliques d'une algèbre de Lie réductive. Dans cet exposé, on démontrera cette conjecture pour le cas des sous-algèbres paraboliques des algèbres de Lie simples classiques et répondrons positivement à cette question pour certaines algèbres de Lie qui stabilisent une forme bilinéaire alternée de rang maximal et un drapeau en position générique (noté r(V)). Pour démontrer ceci, nous utiliserons des résultats de Duflo, Khalgui et Torasso concernant la classification des sous-algèbres paraboliques de so(n,K) et des algèbres de Lie r(V) qui sont quasi-réductives.
9 mai : férié !
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16 mai : colloquium (14h30) :
Hassan Emamirad (Poitiers)
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Résumé :
23 mai : Shaun Stevens (Norwich)
Titre : Représentations des groupes p-adiques et correspondance de Langlands
locale: un état des lieux
Résumé :
mardi 28 mai : colloquium exceptionnel (14h30) : Hanspeter Kraft (Bâle)
(dans le cadre d'une rencontre sur les transformations birationnelles)
Titre : Solving equations and Hilbert's 13th problem
Résumé : In this 13th problem, Hilbert conjectures that the solutions of an equation of degree 7 cannot be written as a "superposition" of functions in two variables. This problem did not get much attention and was not persued anymore after Kolmogorov's fundamental work from 1957 where he showed that even every continuous function can be written as such a superposition. Interestingly, the algebraic aspects of the question were not studied either although one immediatly arrives at very exciting and simple questions about the field of rational functions which are still completely open. In the talk we will describe Hilbert's problem from an algebraic point of view and give a survey of results known so far.
30 mai : Marc van Leeuwen (Poitiers)
Titre : Une bijection qui prouve le théorème du diamant
aztèque en peignant des chemins
Résumé : Le diamant aztèque d'ordre n est une configuration de \(4{n+1\choose2}\) carrés arrangé en losange, et le théorème de ce nom (Elkies, Kuperberg, Larsen, Propp, 1992) affirme que le nombre de ses pavages par des dominos est \(2^{n+1\choose2}\). Ces pavages correspondent par une bijection simple aux familles formées de \(n+1\) chemins disjoints reliant les points sur un côté d'un carré de \(n\times n\) cases aux points d'un côté adjacent, avec de pas horizontaux, diagonaux ou verticaux. Le nombre de telles familles s'exprime (via la méthode de Lindström-Gessel-Viennot) par un déterminant de nombres de Delannoy, quel déterminant s'évalue facilement, donnant une preuve du théorème du diamant aztèque. (Un grand nombre d'autres preuves sont connues, dont les 4 dans la publication originale reposent toutes sur une autre bijection, celle de pavages avec certaines paires de matrices à signes alternants.) On présentera une preuve directe (sans déterminant) et bijective de cette énumération de familles de chemins; c'est à notre connaissance la première preuve bijective du théorème du diamant aztèque. Elle passe par des familles de chemins plus restreints (les pas verticaux ne sont admis que vers la fin d'un chemin) mais sans condition d'être disjoints, et qui sont faciles à énumérer. La bijection est établie par un algorithme inversible qui "peigne" une telle famille, supprimant tous les points d'intersection entre ses chemins, et donnant au final une famille disjointe du type cherché. Cet algorithme permet aussi d'engendrer de façon efficace des pavages aléatoires du diamant aztèque, par une méthode assez différente de la méthode du "domino shuffling" utilisée précédemment, et d'illustrer ainsi le phénomène du "cercle arctique".
6 juin :
Titre :
Résumé :
13 juin : Thomas Reichelt (Mannheim)
Titre : Non-affine Landau-Ginzburg models and mirror symmetry
Résumé : Mirror symmetry is a phenomena inspired by string theory. It predicts a close relationship between enumerative geometry (Gromov-Witten invariants) on the one side and singularity theory resp. Hodge theory on the other side. The non-affine Landau-Ginzburg model unifies various approaches in mirror symmetry and helps to study degenerations and Lefschetz-type theorems in Gromov-Witten theory.