Séminaire "Groupes, Algèbre et Géométrie"

(organisateurs : Paul Broussous et Anne Moreau)

Année 2014 (janvier 2014 - juin 2014)

Le jeudi de 14h00 à 15h00
en salle 0-6

Séminaire GAG 2013 (septembre 2013 - décembre 2013)


• 9 janvier : Tomoyuki Arakawa (RIMS, Kyoto)
  

  Titre : Affine W-algebras and their representations
  
  Résumé : (Affine) W-algebras are certain generalization of infinite-dimensional Lie algebras such as affine Kac-Moody algebras and the Virasoro algebra. They can be also considered as affinization of finite W-algebras, or quantization of the infinite jet scheme of Slodowy slices. Although their algebraic structure is very much complicated it was conjectured by Frenkel, Kac and Wakimoto in 1992 (and later by Kac and Wakimoto in 2008 for more general W-algebras) that W-algebras have nice representations which can be viewed as generalization of integrable representations of affine Kac-Moody algebras. I will talk about this conjecture and the proof.

• 16 janvier : Anis Rajhi (Versailles)
  

  Titre : Représentations de \(GL(N,\mathbb{F})\), \(\mathbb{F}\) local non archimédien, dans des espaces de cohomologie à support compact
  
  Résumé : La panoplie d'outils pour étudier les représentations complexes d'un groupe réductif sur un corps local non archimédien est déjà riche. Cependant il manque un objet géométrique simple servant de support aux représentations. Bruhat et Tits ont associé à chaque groupe son immeuble affine, un complexe simplicial muni d'une action simpliciale. Mais la cohomologie à support compact de cet espace est malheureusement trop pauvre : Borel et Serre ont montré qu'elle donne lieu à la représentation de Steinberg. Dans cet exposé on présentera différentes constructions d'espaces dont la cohomologie à support compact donne lieu à des représentations intéressante du groupe \(GL(N)\) sur un corps local.

• 23 janvier : Armando Treibich (Lille). Attention : le séminaire aura exceptionnellement lieu à 13h30 !
  

  Titre : Surfaces rationnelles anticanoniques et solitons matriciels elliptiques de KDV
  
  Résumé : Soit \(\Lambda \subset\mathbb{C}\) un réseau et notons \(X :=\mathbb{C}/\Lambda\) la courbe elliptique associée. Depuis les années 70 on sait construire des solutions scalaires exactes de l'équation de Korteweg-deVries \(u_t+ \frac{1}{4}(6 u.u_x- u_{xxx})= 0\) \(\Lambda\)-périodiques par rapport à la variable \(x\). Elles sont paramétrées par les varietés jacobiennes de certains revêtements hyperelliptiques \(\pi:\Gamma\to X\), satisfaisant à une condition de tangence dans \({\rm Jac}\Gamma\). On peut d'autre part associer à la courbe elliptique \(X\) une surface rationnelle anticanonique (i.e. dont le diviseur anticanonique est effectif), notée \(S_X\), dont l'étude de ses diviseurs numériquement effectifs est intimement lié au problème précédent, e.g. tous les revêtements hyperelliptiques \(\pi:\Gamma\to X\) ci-dessus sont en correspondance biunivoque avec une famille numérable de courbes rationnelles irréductibles de \(S_X\).

  Nous considérons la généralisation matricielle suivante: soient \(L\) et \(M\) les opérateurs différentiels ci-dessous: \(L=\partial_x^{2} + U\), \(A =\partial_x^{3} + \frac{3}{2} U\partial_x +W\), où \(U(x,t)\) et \(W(x,t)\) sont des fonctions à valeurs des matrices carrées d'ordre \(d\) (\(d \geqslant 2)\). Dans ce cas, l'équation de Zakharov-Shabat \([\partial_t- M, L] = 0\) est équivalente aux équations \(W=\frac{3}{4} U_x\) et \(0=U_t-U_{xxx}-\frac{3}{2} U U_x+W_{xx}+[U,W]\). En éliminant \(W\), on obtient la généralisation matricielle de KdV suivante: \(U_t + \frac{1}{4}(3 U.U_x + 3U_x.U - U_{xxx}) = 0\). Cette équation fut introduite et étudiée par I. Krichever (Integration of non-linear equations by the methods of algebraic geometry, Functional Analysis and Its Applications, JanuaryMarch, 1977, Volume 11, Issue 1, pp 12-26) mais ses solutions \(\Lambda\)-périodiques par rapport à la variable \(x\) ne semblent pas avoir été construites de façon systématique depuis. Nous proposons des résultats qui en donnent une réponse partielle, par le biais de la même surface rationnelle \(S_X\) . En effet, pour tout entier \(d\geqslant 2\) nous obtenons:

  (1) une famille discrete de classes de diviseurs nef de \(S_X\) ;

  (2) dans chacun des systèmes linéaires correspondants une famille \((d-1)\)-dimensionnelle de courbes rationnelles irréductibles;

  (3) chacune des ces courbes rationnelles donne à son tour un revêtement de la courbe elliptique \(X\) dont la jacobienne paramètre des solutions matricielles carrées d'ordre \(d\) de KdV, \(\Lambda\)-périodiques en \(x\).

• 30 janvier : Florence Fauquant-Millet (Saint-Etienne)
  

  Titre : Autour de la polynomialité de certaines algèbres d'invariants dans des algèbres de Lie
  
  Résumé : Soit \(\mathfrak{g}\) une algèbre de Lie semi-simple sur \(\mathbb{C}\). Il est bien connu que l'algèbre des fonctions polynomiales sur \(\mathfrak{g}^{*}\) qui sont invariantes par l'action du groupe adjoint de \(\mathfrak{g}\) est une \(\mathbb{C}\)-algèbre de polynômes en rang(\(\mathfrak{g}\)) générateurs. D'autre part, les degrés des générateurs homogènes de cette algèbre de polynômes peuvent s'exprimer en fonction des valeurs propres de l'élément \({\rm ad}\)-semisimple \(h\) d'un \(\mathfrak{sl}_2\)-triplet principal \((x,h,y)\) de \(\mathfrak{g}\) agissant sur le centralisateur \(\mathfrak{g}^{y}\) dans \(\mathfrak{g}\) de l'élément \({\rm ad}\)-nilpotent régulier \(y\). Un problème de Dixmier est de savoir si, pour toute algèbre de Lie \(\mathfrak{a}\) de dimension finie sur \(\mathbb{C}\), le corps des fonctions rationnelles sur \(\mathfrak{a}^{*}\) qui sont invariantes par l'action adjointe de \(\mathfrak{a}\), est une extension transcendante pure de \(\mathbb{C}\). On peut également se demander quand l'algèbre \(\mathbf{Y}(a)\) des fonctions polynomiales sur \(\mathfrak{a}^*\) invariantes par l'action adjointe de \(\mathfrak{a}\) est une \(\mathbb{C}\)-algèbre de polynômes, au moins pour une algèbre de Lie \(\mathfrak{a}\) algébrique. Parmi les algèbres de Lie non réductives mais algébriques, les algèbres de Lie "bi-paraboliques" (appelées encore "spéciales" ou "algèbres de type algues") ont un comportement qui n'est pas trop éloigné des algèbres de Lie semi-simples. Je vais expliquer dans cet exposé ce que l'on sait pour de telles algèbres et ce que l'on pourrait espérer, pour se rapprocher des propriétés connues pour les algèbres de Lie semi-simples:

  - par exemple, pour une algèbre biparabolique (tronquée) \(\mathfrak{a}\), je vais expliquer quand on sait que l'algèbre \(\mathbf{Y}(a)\) est polynomiale.

  - je vais expliquer également comment on peut généraliser la notion de \(\mathfrak{sl}_2\)-triplet principal (valable uniquement pour une algèbre semi-simple) à une algèbre non semi-simple, mais algébrique. Cela conduit à la notion de paire adaptée (introduite par Joseph) qui donne alors, sous certaines conditions, une section de Weierstrass, permettant de considérer les éléments de \(\mathbf{Y}(a)\) comme des fonctions régulières sur cette section et donc d'en déduire la polynomialité de \(\mathbf{Y}(a)\).

• 6 février : Kenji Iohara (Lyon)
  

  Titre : Analogue du quotient adjoint pour une algèbre de Lie elliptique
  
  Résumé : Après avoir rappelé une description de la déformation semi-unierselle d'une surface de type A,D,E due a E. Brieskorn et P. Slodowy, je vais expliquer ce que nous avons obtenu pour une singularité plus dégénérée qui s'appelle une singularité simplement elliptique et ce qu'il reste à faire. Cette dernière est décrite à l'aide de fibres principales instables sur une courbe elliptique.

• 6 février (exposé supplémentaire, 15h30) : Kenji Iohara (Lyon)
  

  Titre : Sur la théorie de Brieskorn et Slodowy
  

• 13 février : Grégoire Menet (Lille)
  

  Titre : Cohomologie entière d'une surface Kählerienne quotientée par un groupe d'ordre premier
  
  Résumé : Soit \(X\) une surface Kählerienne et \(G\) un groupe d'ordre premier agissant sur \(X\) par automorphismes. Dans cet exposé, nous verrons un critère pour déterminer le réseau formé par le deuxième groupe de cohomologie à coefficients entiers de \(X/G\) muni du cup produit, en fonction de la cohomologie invariante de \(X\).

• 20 février : Matteo Penegini (Milano)
  

  Titre : Surfaces isogenous to a product of curves, moduli spaces and finite groups
  
  Résumé : In this talk we shall present a group theoretical method to calculate the number of connected components of the moduli space of surfaces of general type isogenous to a product of curves. Then, we give then asymptotic growth of the number of these components for certain families of surfaces isogenous to a product with group either an alternating group, or a symmetric group or an abelian group or finally 2-groups. With our methods we get a better lower bound than the one obtained by Manetti. (jww. S.Garion / M.Loenne).

• 27 février (colloquium, 14h30) : Samuel Boissière (Poitiers)
  

  Titre : Invitation à la cohomologie quantique
  

• 6 mars : Pause
  

• 13 mars (colloquium, 14h30) : Sylvain Rousseau (Poitiers)
  

  Titre : Détection comprimée de motifs par matrice d'acquisition circulante orthogonale partielle
  

• 20 mars : Herbert Lange (Erlangen, Allemagne)
  

  Titre : Brill-Noether theory of vector bundles
  
  Résumé : After recalling the classical Brill-Noether theory of line bundles on smooth projective curves and after giving a small survey on what is known on Brill-Noether theory for vector bundles on curves, I will explain the results of two recent joint papers on the non-emptiness of Brill-Noether loci in the moduli space of rank-2 vector bundles with fixed determinant. The is joint work with Peter Newstead.

• 27 mars : Claire Tête (Poitiers)
  

  Titre : Résolution libre de l'idéal d'un point d'une hypersurface
  
  Résumé : Cet exposé se place dans le cadre de la théorie des résolutions libres de \(A\)-modules (où \(A\) est un anneau commutatif) en privilégiant l'aspect effectif de cette théorie. Étant donné \(S = K[X_1, . . . , X_n]\), nous connaissons bien "la" résolution du \(S\)-module \(S/\lbrack X_1, . . . , X_n\rbrack \simeq K\). Il s'agit du complexe de Koszul de la suite \((X_1, . . . , X_n)\). Que se passe-t-il si l'on quotiente \(S\) par un polynôme régulier \(F\)? La réponse est donnée dans un article de John Tate (Homology of Noetherian rings and local rings). L'objectif de l'exposé est de présenter la construction donnée par Tate: il s'agit en fait d'une construction symbolique totalement effective. D'une part celle-ci fournit directement une résolution libre "minimale" de l'idéal d'un point singulier d'une hypersurface. D'autre part ses propriétés remarquables permettent d'expliciter une résolution projective finie de l'idéal d'un point lisse.

• 3 avril : Flaminio Flamini (Rome)
  

  Titre : Extensions of line bundles and rank-two Brill-Noether loci on a general curve
  
  Résumé : In this talk I will first review some basic facts on Brill-Nother loci of line bundles on a smooth, projective curve C of genus g, with general moduli and their interplay with geometric information on C, then I will briefly remind some similarities and some differences for (semi)stable, rank-two, special vector bundles on C. Finally I will report on the approach used, in the recent joint work with C. Ciliberto arXiv:1312.6239.

• 10 avril : Xavier Roulleau (Poitiers)
  

  Titre : Géographie des surfaces simplement connexes
  
  Résumé : Les nombres de Chern \(c_1 ^2, c_2 \in \mathbb{Z}\) d'une surface complexe lisse \(X\) sont des invariants topologiques. Ces nombres vérifient certaines contraintes, dont l'inégalité de Miyaoka-Yau \(c_1 ^2 \leq 3c_2\). À la fin des années 70 Bogomolov demandait quelle était la meilleure constante \(a\) pour l'inégalité \(c_1 ^2 \leq a c_2\) si on suppose de plus que \(X\) est simplement connexe. Dans cet exposé, on montre que \(a=3\). Travail en collaboration avec G. Urzua.

• 17 avril : Sadik Al Harbat (Paris 7)
  

  Titre : La trace de Markov affine
  
  Résumé : Je vais parler, dans la première partie, du groupe de tresses et du groupe de Coxeter de type A afin de définir les éléments pleinement commutatifs et la trace de Markov sur la tour d'algèbres de Temperley-Lieb de type A qui définit un invariant des entrelacs dans l'espace. Dans la deuxième partie, je vais affiniser les notions ci-dessus afin de donner une forme normale des éléments pleinement commutatifs affines et de définir la trace de Markov affine.

• 24 avril : Pause
  

• 1 mai : Pause / Férié
  

• 8 mai : Férié
  

• 15 mai :
  

  Titre :
  
  Résumé :

• 22 mai : Abderrazak Bouaziz (Poitiers)
  

  Titre : Sur les champs de vecteurs invariants sur l'espace tangent d'un espace symétrique
  
  Résumé : Soit \(G\) un groupe de Lie agissant linéairement dans un espace vectoriel réel de dimension finie \(V\). Tout champ de vecteurs lisse et \(G\)-invariant \(X\) sur \(V\) définit une dérivation \(D_X\) de l'algèbre \(C^{\infty}(V)^G\) des fonctions lisses et \(G\)-invariantes sur \(V\), mais on n'obtient pas ainsi toutes les dérivations de \(C^{\infty}(V)^G\). À la fin des années 70, G. Schwarz a décrit l'image de l'application \(\theta : X\mapsto D_X\) lorsque \(G\) est compact : elle est formée des dérivations qui préservent les strates de \(V/G\). À la fin des années 80, Raïs a donné une description simple de l'image de \(\theta\) pour la représentation d'isotropie d'un espace riemannien symétrique ; dans cette situation, l'image est formée des dérivations qui préservent l'idéal engendré par le discriminant réduit de l'espace symétrique. Dans cet exposé, on montre que le résultat de Raïs s'étend à tous les espaces symétriques semi-simples réels (travail en collaboration avec Nouri Kamoun).

• 29 mai : Férié
  

• 5 juin (colloquium, 14h30) : Ruth Kellerhals (Fribourg)
  
  

  Titre :
  
  Résumé :

• 12 juin : Joël Cohen (Clermont-Ferrand)
  

  Titre : Une identité spectrale pour une certaine intégrale orbitale tordue
  
  Résumé : Dans cet exposé on répond à un problème posé par G. Chenevier et L. Clozel concernant une expression spectrale pour une intégrale orbitale sur le groupe \(GL(2n)\) tordu. Plus précisément, on considère \(\mathbb{F}\) un corps \(p\)-adique, \(G\) le groupe \(GL(2n, \mathbb{F})\), \(\theta\) un certain automorphisme de \(G\), et \(G_\theta\) un espace tordu. G. Chenevier et L. Clozel conjecturent une expression type Plancherel-Harish-Chandra de l'intégrale orbitale en \(\theta\) comme une intégrale sur les représentations irréductibles tempérées auto-duales de \(G\) dont le paramètre de Langlands est symplectique. La preuve repose sur le transfert endoscopique.

• 19 juin : Christian Lehn (Paris)
  

  Titre :
  
  Résumé :

• 26 juin : Michela Varagnolo (Cergy-Pontoise)
  

  Titre :
  
  Résumé :